Matemática

 

 

 

       

       

 

Rio de Janeiro, 27 de novembro de 2013.

 

REVISÃO PARA A PROVA FINAL

 

 

 

6º ANO

 

Operações com números racionais decimais

 1) Adição

    Considere a seguinte adição:

        1,28 + 2,6 + 0,038

    Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

 

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038

               

 

 

 

35,4 + 0,75 + 47

 

                

2)Subtração

    Considere a seguinte subtração:

        3,97 - 2,013

 

    Transformando em fração decimais, temos:

 

 

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.

 

Exemplos:

 

3,97 - 2,013

 

   

 9 - 0,987

 

 

3) Multiplicação

 

    Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

 

    Transformando em fração decimais, temos:

 

 

   

 
 

Método prático

 

 

Multiplicamos os dois números decimais como  se  fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.

 

Exemplos:

3,49 · 2,5

 

 

Transformando em fração decimais, temos:

 

 

 



Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como  se  fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.

 

Exemplos:

 

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

 

 

 

 

 

Observação:

 

   1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo:

                                                                5 · 0,423 = 2,115

 

   2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

 

 

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 = 5/100 = 5%

1,17 = 117/100 = 117%

5,8 = 5,80 = 580/100 = 580%

 

 

 

4) Divisão

 

      1º: Divisão exata

        Considere a seguinte divisão:  1,4 : 0,05

        Transformando em fração decimais, temos:

 

 

 



Método prático

 

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Suprimimos as vírgulas; 3º) Efetuamos a divisão.

 

Exemplos:

 

1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais:	1,40	0,05
Suprimindo as vírgulas:	140	5

          Efetuando a divisão

 

         

 

           Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28

 



 

Rio de Janeiro, 31 de outubro de 2013.

 

 

 

Revisão de Estatística para o 3º ano do Ensino Médio

 

 

Rol é toda sequência de dados numéricos colocada em ordem crescente ou decrescente.

Exemplo: Os cincos alunos de uma amostra estatística apresentaram as seguintes notas na prova bimestral de matemática: 6; 4; 8; 7; 8. Apresentando esses dados em rol, temos:      
   (4; 6; 7; 8; 8) ou (8; 8; 7; 6; 4).

 

Os dados de uma amostra estatística podem ser agrupados em classe.

As classes por sua vez, são divididas em intervalos iguais e cada intervalo contém o seu limite inferior (li) e o seu limite superior (Ls).

 

Amplitude de classe – é o tamanho dos intervalos de classe. Como todos os intervalos obrigatoriamente têm o mesmo tamanho, numa determinada pesquisa; então basta pegar o limite superior de qualquer classe e diminuir o seu limite inferior.

A = Ls - li

 

Frequência Absoluta (fi ou fa) – é o número de vezes que determinado valor aparece dentro de um intervalo de classe.

Exemplo:

Altura	Frequência  Absoluta	Frequência  Relativa
1,69    -    1,74	6	30%
1,74    -    1,79	3	15%
1,79     -    1,84	2	10%
1,84    -    1,89	4	20%
1,89    -    1,94	5	25%
Total	20	100%

Logo, podemos perceber que na 1ª classe temos 6 valores entre as alturas 1,69 e 1,73; na 2ª classe temos 3 valores entre 1,74 e 1,78; na 3ª classe temos 2 valores entre 1,79 e 1,83;...

 

Frequência Relativa (Fr) – é a frequência absoluta dividida pelo total. Aparece na forma percentual.

Fr =  fa ∕ T

         

Ponto Médio (Xi) -  é o ponto médio de cada intervalo de classe, ou seja, é o limite inferior mais o limite superior, dividido por dois.

Xi = (li + Ls) ∕ 2

 

Moda – é o dado da pesquisa que aparece com mais frequência.

Exemplo: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 8.

Logo a moda será 6.

Classe Modal – é a classe que apresenta maior frequência.

No exemplo da tabela acima, a classe modal é a 1ª classe.

 



 

 

Rio de Janeiro, 30 de outubro de 2013.



 

 

 

Questões do ESAF 

 

1)  Achar uma fração igual a 7∕8, cuja soma dos termos seja 120.

 

 

2- A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é

atleta” é logicamente equivalente à proposição.

 

a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.

b) Paulo estuda e Marta não é atleta.

c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.

d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.

e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.

 

3- Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos.

Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de

Rodrigo. Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia

de Maria. Ora, Leila não é tia de Maria. Logo:

 

a) Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.

b) Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.

c) Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.

d) Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.

e) Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.

 

4- Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa.

Sabendo-se que o ponto A está a 2 metros do solo e

que o caminho percorrido pela esfera é exatamente

a hipotenusa do triângulo retângulo da fi gura abaixo,

determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o

solo no ponto B.

 

a) 5 metros

b) 3 metros

c) 4 metros

d) 6 metros

e) 7 metros

 

5- A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5

e 3 é igual a:

 

a) 3.

b) 2.

c) 1.

d) 4.

e) 5.

 

6- O Ministério da Fazenda pretende selecionar ao acaso 3

analistas para executar um trabalho na área de tributos.

Esses 3 analistas serão selecionados de um grupo

composto por 6 homens e 4 mulheres. A probabilidade de

os 3 analistas serem do mesmo sexo é igual a:

 

a) 40%.

b) 50%.

c) 30%.

d) 20%.

e) 60%.

 

7- Marta aplicou R$ 10.000,00 em um banco por 5 meses,

a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Após esses

5 meses, o montante foi resgatado e aplicado em outro

banco por mais 2 meses, a uma taxa de juros compostos

de 1% ao mês. O valor dos juros da segunda etapa da

aplicação é igual a:

 

a) R$ 221,10.

b) R$ 220,00.

c) R$ 252,20.

d) R$ 212,20.

e) R$ 211,10.

 

8- Um título de R$ 20.000,00 foi descontado 4 meses antes

do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial

simples de 5% ao mês. A taxa efetiva mensal de juros

simples dessa operação é igual a:

 

a) 6,50%.

b) 5,50%.

c) 5,25%.

d) 6,00%.

e) 6,25%.

 

9- Para construir 120 m2 de um muro em 2 dias, são

necessários 6 pedreiros. Trabalhando no mesmo ritmo, o

número de pedreiros necessários para construir 210 m2

desse mesmo muro em 3 dias é igual a:

 

a) 2.

b) 4.

c) 3.

d) 5.

e) 7.

 

10- Em um tanque há 3 torneiras. A primeira enche o tanque

em 5 horas, a segunda, em 8 horas, já a terceira o esvazia

em 4 horas. Abrindo-se as 3 torneiras ao mesmo tempo e

estando o tanque vazio, em quanto tempo o tanque fi cará

cheio?

 

a) 10 horas e 40 minutos

b) 13 horas e 20 minutos

c) 14 horas e 30 minutos

d) 11 horas e 50 minutos

e) 12 horas e 10 minutos

 

11- Dada a matriz

o determinante de A⁵ é igual a

a)     20

b)    28

c)     32

d)    30

e)     25

12- Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa. Sabendo-se que o ponto A está a 2 metros do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a hipotenusa do triângulo retângulo da figura abaixo, determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o solo no ponto B.

 

A)     5 metros

B)      3 metros

C)      4 metros

D)     6 metros

E)      7 metros

 

 



 

Rio de Janeiro, 24 de outubro de 2013.

 

 

 

 Trabalho de Lógica

3º Ano de Enfermagem

 

 

1) As três filhas de Anselmo – Ana, Regina e Helô – vão para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte preferido: bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no colégio Santo Antônio, outra no São João e outra no São Pedro.  Seu  Anselmo está confuso em relação ao meio de transporte usado e ao colégio que cada filha estuda. Lembra-se, entretanto,  de alguns detalhes:

- Helô é a filha que anda de bicicleta;

- a filha que anda de ônibus não estuda no Colégio Santo Antônio;

- Ana não estuda no Colégio São João e Regina estuda no Colégio São Pedro.

Pretendendo ajudar  Anselmo, sua mulher junta essas informações e afirma:

                 I.  Regina vai de ônibus para o Colégio São Pedro.

                II.  Ana vai de moto.

               III. Helô estuda no Colégio Santo Antônio.

           Com relação a estas afirmativas, conclui-se:

(a)    Apenas a  I  é verdadeira;

(b)   Apenas a I e a II são verdadeiras;

(c)    Apenas a II é verdadeira;

(d)   Apenas a III é verdadeira;

(e)   Todas são verdadeiras.

 

 

2) Marcos trabalha por conta própria e notou que, em geral:

- nas segundas –feiras, ganha mais que nas quartas-feiras;

- nas terças-feiras, ganha menos que nas quartas-feiras e menos que nas quintas-feiras;

- nas quintas-feiras, ganha mais que nas segundas-feiras;

- nas sextas-feiras, ganha mais que nas segundas-feiras.

Analisando as afirmações, é correto dizer que o dia da semana em que Marcos ganha menos, em geral, é:

(a)    Segunda-feira;

(b)   Terça-feira;

(c)    Quarta-feira;

(d)   Quinta-feira;

(e)   Sexta-feira.

 

 

3) Para responder a essa questão, considere que todo indivíduo que contrai dengue apresenta febre alta e dores musculares. Carlos e Sílvio deram entrada num hospital com suspeita de dengue. Carlos apresentava febre alta e dores musculares, enquanto Sílvio se queixava de dores musculares, mas não apresentava febre. A partir dessas informações, pode-se concluir que:

(a) Carlos e Sílvio certamente contraíram dengue;

(b) Carlos certamente contraiu dengue, e Sílvio pode ou não ter contraído a doença;

(c) Carlos certamente contraiu dengue, e Sílvio certamente não contraiu a doença;

(d) Carlos pode ou não ter contraído dengue, o mesmo ocorrendo com Sílvio;

(e) Carlos pode ou não ter contraído dengue, e Sílvio  certamente não contraiu a doença.

 

4) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua a casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja -; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:

(a)    Cão, cobra e calopsita;

(b)   Cão, calopsita e cobra;

(c)    Calopsita, cão e cobra;

(d)   Calopsita, cobra e cão;

(e)   Cobra, cão e calopsita.

 

5) Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que:

- essas pessoas formam quatro casais;

- Carolina não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando.

Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é:

(a)    Carolina

(b)   Júlia

(c)    Raquel

(d)   Rita

 

 

6) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:

 

“ Todo aluno da UFRJ é inteligente.”

 

“ Existem alunos da UFRJ que não são estudiosos.”

         Assim sendo, com relação aos alunos da UFRJ, conclui-se:

          

(a)    Alguns não são estudiosos e nem inteligentes.

(b)   Alguns são estudiosos e inteligentes.

(c)    Alguns são estudiosos e não são inteligentes.

(d)   Todos são estudiosos e inteligentes.

(e)   Todos os não inteligentes são estudiosos.

 

 

 

 

 

Rio de Janeiro, 23 de outubro de 2013.

 

 

 Trabalho de Estatística

3º Ano de Enfermagem

 

 

1) Uma pesquisa foi realizada  entre os moradores de um bairro, para descobrir a idade dos mesmos e foram identificadas  as seguintes idades.

10, 11, 1, 20, 10, 1, 13,  4,  5,  6,  7,  9, 10, 35, 1, 2, 3, 4, 2,  16,  24, 28, 22, 30, 33, 35, 21,53, 47, 81, 44, 27, 68, 33, 65, 81, 44, 33, 81, 90, 81,  65, 65, 95, 80, 85, 82, 80, 60, 50, 51, 30.
 

Com base nos dados apresentados, determine:

 

a) O rol dessa pesquisa.

 

b) Complete a tabela.   

   

   

 

c) Determine a amplitude de classe.
 

d) Determine a moda.
 

e) Determine a classe modal.
 

f) Construa o histograma relacionando a frequência absoluta dessa pesquisa.

 

 

 

2) Uma pesquisa  realizada com os alunos de uma sala mostra as seguintes alturas (cm) dos alunos:

140, 160, 151, 142, 162, 140, 150, 173, 166, 156, 172, 165, 162, 162, 181, 188, 177, 181, 150, 149, 174, 173, 175, 147, 154, 144, 156, 162, 159, 163, 162, 185, 173, 162, 151, 151, 167, 159, 160, 170.

 

 Com base nos dados apresentados, determine:
 

a) O rol dessa pesquisa.


b) Complete a tabela.     

    

               

 

c) Determine a amplitude de classe.
 

d) Determine a moda.
 

e) Determine a classe modal.
 

f) Construa o histograma relacionando a frequência relativa dessa pesquisa.

 

 

 

Rio de Janeiro, 09 de outubro de 2013.

 

 

 

Trabalho de Polinômios

3º ano de Enfermagem

 

 

 

1-Determine todas as raízes do polinômio  p(x)= x⁴ – 12x² + 27, sabendo que -3 e 3 são algumas delas.

2- Descubra a multiplicidade da raiz 3 no polinômio                                       p(x)= x³ - 2x² - 2x – 3.

3- Se -2 é raiz do polinômio p(x)= 2x³ + 5x² - 11x – 26, quais são as outras raízes¿

4- Escreva o polinômio p(x) = x² + 2x – 3 na forma fatorada.

5- Qual é o polinômio que tem como raízes 1, 2 e 4¿

 

6- Formule o polinômio cujas raízes são 1, -3, 2 e -2.

 

 

7- Dada a equação polinomial 2x³ - x² - 5x – 2 = 0 e sabendo que 2 é uma de suas raízes, determine as outras raízes.

 

 

8- Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)=x³ - 5x² + 8x – 4. Escreva o polinômio na forma fatorada.

 

 

9-Determine o valor de a no polinômio p(x)= x³ - 2x² - 3x + a, sabendo que -2 é sua raiz.

 

 

 Atenção!

  O trabalho deverá ser entregue no dia 23 de outubro de 2013.

 

 

 

 

Rio de Janeiro, 01 de outubro de 2013.

 

 



Conteúdo do 4º bimestre

3º ano

 

- Multiplicidade da raiz de um polinômio

O número de vezes que uma mesma raiz aparece indica a multiplicidade da raiz

PS: Vale lembrar que toda equação de grau n terá n raízes!

Exemplo:

  a)   x²  - 6x + 9

       (x-3) (x-3)     Há dois fatores idênticos!

              X=3         Neste caso, dizemos que 3 é raiz dupla do polinômio ou de multiplicidade 2.

 

b) Dado o polinômio p(x)= x⁴ - 5x³ + 6x² +4x – 8 , vejamos qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio , ou seja, quantas vezes a raiz 2 divide o polinômio.

   -  Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, vamos dividir o polinômio pela raiz 2 até encontrar resto diferente de zero.

 

 

 

 

 Rio de Janeiro, 06 de setembro de 2013.

 



Exercícios de Análise Combinatória para o 2º ano

Professor Dídimo

 

 

1)   Quantos automóveis podem ser licenciados se cada placa contém duas letras e quatro dígitos, incluindo aquelas que têm todos os algarismos iguais a zero? As letras que podem ser usadas são as 23 do nosso alfabeto e ainda k, w e y.

 

 

2)   Cinco cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis para os três primeiros lugares?

 

 

3)   Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de quatro algarismos poderemos formar?

 

 

4)   Quantos números naturais maiores que 300 e menores que 900, com algarismos distintos, podemos escrever, usando os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

 

 

5)   Numa estação de metrô há 3 bilheterias, 6 “borboletas” receptoras de bilhetes e 2 escada de acesso à plataforma de embarque. De quantos modos diferentes uma pessoa pode comprar um bilhete, passar por uma “borboleta” e atingir a plataforma através de uma escada?

 

 

6)   Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?

      OBS.: No sistema de numeração decimal, há 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Um número de quatro algarismos não pode iniciar pelo algarismo zero.

 

 

7)   Num hospital, existem 3 portas de entrada que dão para um amplo saguão, onde há 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas formas diferentes pode fazê-lo?

 

 

8)   Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos (diferente) podemos formar?

 

 

9)   Uma lanchonete serve 3 tipos de sanduíche e 4 tipos de refrigerantes. De quantos modos distintos uma pessoa pode fazer um lanche?

 

 

10)    Uma pessoa dispõe de 3 pares de sapatos, 4 calças e 5 camisas, de características diferentes. De quantos modos distintos ela pode se vestir, usando de cada vez um par de sapatos, uma calça e uma camisa?

11)    Determinar quantos números de três algarismos distintos, múltiplos de 5, cujas centenas (C) pertencem ao conjunto {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos (das dezenas e das unidades) ao conjunto {0, 5, 6, 7, 8 ,9}.

 



 

 





Rio de Janeiro, 27 de agosto de 2013.

 

 

 

Conteúdo para o 9º ano - 3º Bimestre

 

 

 

Relações métricas no triângulo retângulo

 

 Observe os triângulos:

 Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

h² = mn           b² = ma               c² = an              bc = ah

 

Teorema de Pitágoras

 

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

c² = a² + b²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
x = √225
x = 15

Exemplo 2

Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

 

25² = x² + 20²
625 = x² + 400
625 – 400 = x²     
x² = 225
x = √225
x = 15

 

 

 

 

 

   

 

                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rio de Janeiro, 26 de agosto de 2013.

 

Conteúdo para o 8º ano - 3º Bimestre

 

Simplificação de frações algébricas

Nas simplificações de frações dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). Isso equivale a cancelar os fatores comuns e obter uma fração mais simples. Usando esse mesmo procedimento, podemos simplificar uma fração algébrica quando ela apresenta um fator comum, não-nulo, ao numerador e ao denominador.

 

 

 

- Operações com frações algébricas:

 

1) Adição e subtração

Na adição e subtração deve ser calculada da mesma maneira de uma fração fracionária. Obtém-se frações equivalentes e de mesmo denominador; o denominador comum poderá ser o produto ou o mmc dos denominadores; somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum.

 

2) Multiplicação

As multiplicações de frações algébricas devem ser calculadas da mesma mesma de uma fração fracionária.

 

 

3) Divisão

A divisão ocorre da mesma forma de uma fração fracionária.

 



Os 4 Casos da Fatoração de Polinômios

 

 

 Fatoração de polinômios (mais de um termo) é o nome dado a uma operação onde o objetivo é encontrar a “origem” de um ou mais monômios (um termo).

Exemplo: efetuada a fatoração do polinômio 4r + 12, encontraremos o resultado 4(r+3).

 

1º caso: Colocação de um termo em evidência

     O 1º caso da fatoração de polinômios consiste em destacar um termo em comum na equação e logo após determinar o resultado.

 

Exemplo 1: colocação de uma letra em evidência                                                                                                                                                                

          x³+yx² - fatorando a equação ao lado temos x²(x+y), pois temos a letra x em comum nos dois termos.     

     Notamos que o termo em evidência foi x², pois x era o único termo em comum e como havia x² e x³, destacamos o menor termo para chegarmos ao resultado final.

Prova real: efetuando a distributiva da equação x²(x+y) obtemos, x².x e x².y que resulta em x³+yx² que era exatamente o polinômio inicial.

     Logo nos deparamos com o polinômio -6x²-4xy, notamos que alem das letras x e y, também há os números 6 e 4. Devemos então destacar um termo numeral e um termo literal, já que os dois podem ser destacados.

Exemplo 2: colocação de um número e uma letra em evidência

          -6x²-4xy - na equação ao lado é possível colocarmos uma letra e um número em evidência, pois no caso, se repete a letra x e notamos que os números 4 e 6, são todos divisíveis por 2. O resultado da fatoração então fica 2x(-3x-2y).

Observação: O número em evidência, sempre deverá ser o maior divisor comum entre os termos, exemplo, o maior divisor comum entre 10 e 20 é 10, e não 2 ou 5. E assim como houve uma letra e um número em evidência pode ocorrer também de haver só um número em evidência.

Exemplo 3: fatoração com fração

          4/5xy -2/5x – na equação ao lado há a possibilidade destacarmos o monômio 2/5x, pois 2 (numerador do segundo termo) é divisível por 4 (numerador do primeiro termo); 5 é o denominador dos dois e x pois está em comum entre os monômios. Temos então 2/5x(2y-1).

Prova Real: efetuando a operação distributiva obtemos a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador: 2/5x.2y e 2/5x.-1 que resulta em 4/5xy e -2/5x. (no caso foi determinado numerador 2y e denominador 1, porque o número um pode ser ocultado, por ser insignificante, 2y/1 é a mesma coisa que 2y)

 

 

 

2º caso: Agrupamento

     O 2º caso da fatoração de polinômios consiste no agrupamento, selecionando os termos que possuem uma letra e/ou número em comum e logo após, fazer a fatoração separada.

Exemplo 1: agrupamento em dois termos

          ax+2a+5x+10 - na equação ao lado notamos que não há nenhum número e nenhuma letra em comum em todos os termos. Devemos então agrupar os termos semelhantes. O resultado da fatoração então fica a(x+2)+5(x+2). Agora só nos resta simplificar o resultado. Que fica (a+5).(x+2).

     Os termos agrupados foram ax+2a e 5x+10, efetuando a distributiva chegamos ao mesmo resultado anterior.

Prova real: (a.x)+(a.2)+(5.x)+(5.2), logo obtemos ax+2a+5x+10.

Exemplo 2: agrupamento em três termos

          x³-2x²+x+yx²-2xy+y - na equação ao lado temos seis termos, como não temos uma letra ou um número em comum em todos, devemos efetuar a fatoração pelo 2º caso. A equação tem seis termos diferentes, devemos observar se podemos agrupar 3 grupos de 2, ou agrupar 2 grupos de 3. Notamos que há em comum x³-2x²+x e yx²-2xy-y, onde na primeira temos x em comum e na segunda temos y. Devemos então agrupar 2 grupos de 3 termos.

     Efetuamos então o mesmo procedimento, x(x²-2x+1)+y(x²-2x+1). O resultado simplificado é (x+y).(x²-2x+1).

 

3º caso: Trinômio quadrado perfeito
 

     O 3º caso, pra mim é o mais simples e rápido de se realizar, consiste em elevar ao quadrado a raiz do primeiro e do último termo.

Exemplo 1: Raiz quadrada de dois termos elevadas ao quadrado

          x²+10x+25 - notamos na equação ao lado que não há nenhuma letra ou número em comum em todos os termos, então não é o primeiro caso. Nem o segundo, pois há somente três termos, impossibilitando o agrupamento. Então devemos extrair a raiz quadrada do primeiro e do último termo, resultando em x e 5. Agora simplesmente colocamos estes dois termos em parênteses e elevamos tudo ao quadrado. O resultado final será (x+5)². O sinal do segundo termo (+10x) sempre acompanhará o sinal do parêntese (x+5)². Se fosse (-10x) o sinal acompanharia no parêntese (x-5)²

Prova real: (x+5)²=(x+5).(x+5)=x.x+x.5+5.x+5.5=x²+5x+5x+25=x²+10x+25. Também há outra forma de efetuar a prova real, somente faça o dobro do produto de x e 5, 2.x.5=10x que é o único termo que não foi efetuada a raiz quadrada.

4º caso: Diferença de dois quadrados

     O 4º caso da fatoração de polinômios consiste na diferença da raiz quadrada dos dois termos da equação. Assim como o 3º caso, é simples e rápido de fazer.

Exemplo 1: Sinal trocado no segundo parêntese

          x²-25 - notamos que na equação ao lado não há nenhum termo em comum em todos os termos, então não é o 1º caso, também observamos que há somente 2 termo, então eliminamos a possibilidade de ser o 2º (4 ou mais termos) e o 3º caso (3 termos). Devemos então somente extrair a raiz quadrada dos dois termos (ignorando o sinal de negativo do 25), então fica x-5, agora só efetuamos a multiplicação entre parêntese com o sinal trocado, temos então resultado final (x-5).(x+5), só trocarmos o sinal do segundo termo no segundo parêntese. Lembrando que no 4º caso o sinal do segundo termo na equação sempre será negativo.

Prova real: efetuando a operação distributiva obtemos (x.x)+(x.5)+(-5.x)+(-5.5)=x²+5x-5x-25=x²-25

 

 

 

Rio de Janeiro, 14 de agosto de 2013.

 

 

 

 

Atividades de Matemática para o 3º ano de Enfermagem

 

                             Polinômios

 

1)   Determine m, para que o polinômio P(x)=(m-4)x³ +(m² – 16)x² +(m+4)x + 4 seja de grau 2.

 

2)   Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio

Q(x)= (2m – 1)x³ – (5n – 2)x²  + (3 – 2l) é identicamente nulo.

 

3)   Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio

P(x)= a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a Q(x)= x³ + 6x² + 15x +14.

 

4)   Determine os valores de a, b e c de modo que a identidade

a(x² + x) + (b + c)x + c = 3x² + 5x – 2 seja verdadeira.

 

5)   Dado os polinômios P(x)= 4x⁷ + 6x⁵ + 3x⁴ _­ - 2x² + x +1;

Q(x)= 4x⁴ + 3x³ + 2x² + 6  e  H(x)= 3x² + 1, efetue as operações abaixo:

a)P(x) + Q(x) + H(x)

 

b)P(x) + H(x)

 

c)Q(x) – H(x)

 

d)P(x) – Q(x)

 

6)   Efetue as multiplicações abaixo:

a)P(x)= 3x³ +6x² + 4  .  Q(x)= 2x² + 2x – 6

b)R(x)= 5x⁴ + 2x³ + x² +2x – 1  .  S(x)= 3x + 2

 

 

 

 



Rio de Janeiro, 08 de julho de 2013.

Revisão de matemática para a RECUPERAÇÃO do ensino médio!

 

 

 

 

 

 

1 ANO

Função Quadrática

 

 

 

 

 

 

  Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

 

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

 

 

Gráfico

 

 

 

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau,                   y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:

    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática                y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

 

 

Zero e Equação do 2º Grau

 

 

 

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

 

 

 

 

 Temos:

                    

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   
  Coordenadas do vértice da parábola
     Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
  
  
  Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  
  

   

  
  

   

Construção da Parábola

   É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:

1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 0² + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
   
   
   

    

   
   

    
   
   
   

    

   
   

    

   Relações no Triângulo Retângulo

   
   
   

    

   
   

    

   Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: 
   
   

   O lado que for oposto ao ângulo reto será chamado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto. 

   
   

    

   
   

    

   
   
   

    

   
   

    

   
   

    

   

   
   
   

    

   
   

    

   
   

    

   
   
   

    

   
   

    

   
   

    

   
   
   

   Elementos do triângulo retângulo 

   
   

    

   
   

   Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a a e catetos iguais a b e c: 

   
   

    

   
   

    

   
   
   

    

   
   

    

   
   

    

   

   
   

   
   

   
   

   Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h) que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta será a altura do meu triângulo retângulo e irá dividir o lado a em dois lados m e n. 

   
   

   
   

    

   
   

    

   

   
   

   
   

   
   

   Formamos mais dois triângulos retângulos: ABH e AHC. 

   
   

    

   
   

   Relações métricas do triângulo retângulo: 

   
   

   Observando o triângulo retângulo acima, podemos retirar algumas relações feitas com os seus elementos. 

   
   

    

   
   

   1º) c² = m . a 
   

   
   

   
   

    

   
   

    

   2º) b² = n . a 

   
   3º) b . c = a . h 
   
   4º) h² = m . n 
   

   
   

   
   

    

   
   

    

   5º) a² = b² + c²

   
   

   
   

    

   
   

    
   
   
   

    

   
   

    

   
   

    

   
   

    

   
   
   Razões trigonométricas
   
   
    
    
    
    
   Seno, Cosseno e Tangente
      Considere um triângulo retângulo BAC:
    
    
    
    
   
    
    
    
   
   
   

    

   
   

    
   <!--[if !vml]--> <!--[endif]-->Hipotenusa:     = a
   
   
   

    

   
   

    

   
   

    
   Catetos:          = b
                         = c
    
   
   
   Ângulos:         ,   e  .
    
   
   
   

    

   
   

    

 

 

 Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

    Assim:

senC = c/a

• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:         cos B= c/a

                                          cos C= b/a

Tangente

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   
  
  
    Assim:
  
  
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
   
   Exemplos:

  
  

  
  

   

  
  

   

  
  

   

  

   
  2 ANO
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   
  Matrizes
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   
  Uma Matriz pode ser representada pelo símbolo aij, onde i: linhas e j: colunas. Toda matriz é disposta na forma m x n, quer dizer uma tabela de m linhas horizontais e n linhas verticais.
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   
  Exemplos de matrizes
  
  

   

  
  

  Matriz 1 x 3 (uma linha e três colunas)

  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   
  
  
  
  
  
  
  
  Matriz 2 x 3 (duas linhas e três colunas)
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  Construindo a matriz A = (aij)3x3, em que aij = i + j.
  
  
   
   
  Representação
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   
  
  
  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   

  
  

   

a₁₁ = 1+1 = 2
a₁₂ = 1+2 = 3
a₁₃ = 1+3 = 4
a₂₁ = 2+1 = 3
a₂₂ = 2+2 = 4
a₂₃ = 2+3 = 5
a₃₁ = 3+1 = 4
a₃₂ = 3+2 = 5
a₃₃ = 3+3 = 6

Construindo a matriz A = (aij)_2x3, em que aij = 2i-j.

 

 

 

 

a₁₁ = 2*1 – 1 = 1

a₁₂ = 2*1 – 2 = 0
a₁₃ = 2*1 – 3 = - 1
a₂₁ = 2*2 – 1 = 3
a₂₂ = 2*2 – 2 = 2
a₂₃ = 2*2 – 3 = 1

 

 

 

 

Casos particulares de matrizes

 

Matriz linha: possui apenas uma linha

 

 

 

Matriz coluna: possui apenas uma coluna

 

 

Matriz quadrada: o número de linhas é igual ao número de colunas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Matriz Nula

 

 

 

A definição de matriz nula é aquela na qual todos os seus elementos são iguais a zero. Alguns livros trazem a matriz nula com uma notação especial, (0mxn), entretanto não é necessário ficar criando notações para tudo o que vemos na matemática.

Vejamos exemplos de matrizes nulas:

 

 

 

 

 

 

 

Matriz Oposta

 

 

 

A matriz oposta de uma matriz A (qualquer) é denominada como matriz –A.

 

Vejamos um exemplo:

 

Teremos que a matriz oposta à matriz A será:

Matriz diagonal

É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são diferentes de zero e os demais elementos iguais a zero.

 

 

Exemplos:

Matriz transposta 

Considere uma matriz A =(a_ij)_{(m x n)}.  A matriz transposta de A, representada por A^t, é uma matriz da forma A^t = (b_ji)_{(n x m)}, tal que:

b_ji = a_ij

 

Observe que a matriz A é de ordem m x n, enquanto A^t é de ordem n x m. Essa “inversão” das ordens das duas matrizes se deve ao fato de que para obter a transposta de A devemos “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. De forma simples, é isso o que diz a definição de transposta de uma matriz.

 

Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento.

 

Exemplo 1. Determine a matriz transposta de cada uma das seguintes matrizes.

 

 

 

 

 

Solução: Para obter a transposta de A, basta “transformar” cada uma de suas linhas em colunas. Assim, teremos:

Solução: “Transformando” linha em coluna, obtemos:

Solução: Nesse caso, teremos:

 

 

 

 

Igualdade de matrizes

Dadas duas matrizes A e M, podemos afirmar que elas são iguais se:

 

1. Elas apresentarem a mesma ordem.

2. Todos os elementos de A forem iguais aos correspondentes de M.

 

Por exemplo, dada uma matriz A_{2 x 2}, ela será igual à matriz B se B tiver ordem 2 x 2 e se a₁₁ = b₁₁, a₁₂= b₁₂, a₂₁ = b₂₁ e a₂₂ = b₂₂.

 

Abaixo segue o exemplo de duas matrizes iguais.

 

Observe que elas apresentam a mesma ordem, 2 x 2, e os elementos correspondentes são iguais.

 

Vejamos alguns exemplos de exercícios envolvendo igualdade entre matrizes.

 

Exemplo 1. Determine o valor de x e y para que se tenha A = B, sendo:

 

Solução: Observe que as duas matrizes já possuem a mesma ordem, 2 x 2. Logo, temos que:

Adição de Matrizes

Para que a matriz A seja igual à matriz B, deveremos ter as seguintes igualdades:

Portanto, x = – 8 e y = 10.

 

 

Considerando duas matrizes A e B de mesma ordem, isto é, mesmo número de linhas e colunas, a soma entre elas constituirá em uma matriz C de mesma ordem das adicionadas. Os termos deverão ser somados de acordo com suas posições. Por exemplo, se somarmos duas matrizes de ordem 3x3, as adições dos elementos respeitarão a seguinte situação:

a₁₁ + b₁₁ = c₁₁

a₁₂ + b₁₂ = c₁₂

a₁₃ + b₁₃ = c₁₃

a₂₁ + b₂₁ = c₂₁

a₂₂ + b₂₂ = c₂₂

a₂₃ + b₂₃ = c₂₃

a₃₁ + b₃₁ = c₃₂

a₃₂ + b₃₂ = c₃₂

a₃₃ + b₃₃ = c₃₃ 

 

 

 

Observe:

 

Exemplo 1

 

Adicionar as matrizes A e B.

 

A + B = C ↔ a_ij + b_ij = c_ij 

 

 

 

 

 

 

Subtração de Matrizes

 

 

 

 

 

 

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem. 

 

Assim temos: 

Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim: a₂₁ – b₂₁ = c₂₁. 

 

Exemplos: 

 

Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos: 

 

- = 3 x 3 

 

Observe os elementos destacados: 

 

Quando subtraímos a₁₃ – b₁₃ = c_13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4 

 

Quando subtraímos a₃₁ – b₃₁ = c_31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3 

 

Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B.

 

 

 

 

Multiplicação de Matrizes

 

 

 

A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação.

Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna.

 

Observe o exemplo:

 

Exemplo 1

Observe que a multiplicação somente foi efetuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.

 

 

 

 

 Determinante de uma matriz quadrada

 

 

Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.

Determinante de uma matriz de 1ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a₁₁], seu determinante será o número a₁₁. Ou seja, o próprio elemento.

Determinante de uma matriz de 2ª ordem.

Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Determinante de uma matriz de 3ª ordem.

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:

 

Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:

 

 

 

 

 

O método de Sarrus consiste em:

1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.

 

 

 

2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.

(a₁₁∙a₂₂∙a₃₃+a₁₂∙a₂₃∙a₃₁+a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ )

 

 

3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:

(a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

 

4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:

 

det A = (a₁₁∙a₂₂∙a₃₃ + a₁₂∙a₂₃∙a₃₁ + a₁₃∙a₂₁∙a₃₂ ) - (a₁₂∙a₂₁∙a₃₃ + a₁₁∙a₂₃∙a₃₂ + a₁₃∙a₂₂∙a₃₁)

 

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

 

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:

 

 

 

Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:

 

 

 

 

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz 

 

 

Solução:

 

 

 

 

Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.

 

 

Solução:

det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9

 

 

 

Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:

 

 

 

Solução:

 

 

 

 

3 ANO

 

 

 

 

Números Complexos

 

 

 

 

 

 

 

 

Definição: É todo número Z que pode ser representado algebricamente sob a forma  Z= a + bi.

Onde{ a e b pertencem a R e  i =raiz de -1}

1) Potência de i

I⁰ =1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

 

 

Quando o expoente for um número alto,dividimos então esse valor por 4 e o resto da divisão passa a ser o novo expoente.

Exemplos:

 

 

a) i⁷¹ = i³ = -i, pois 71 dividido por 4 tem resto 3.

b) i¹⁴³² = i⁰ = 1, pois 1432 dividido por 4 tem resto 0.

 

 

2) Igualdade de complexos

 

 

 

 

Z₁= a₁ + b₁i

Z₂= a₂ + b₂i

 

 

Então:        Z₁ = Z₂

              a₁ + b₁i  =  a₂ + b₂i,     onde    a₁ = a₂  e  b₁₌b₂

 

 

 

Exemplo

 

 

     Seja   Z₁ = x + 2i   e   Z₂= 4 + Yi,  

     Se      Z₁ = Z₂     então:

     x= 4   e   y=2.

 

 

3) Conjugado de um número complexo

 

 

 

 

Dado um número complexo Z= a + bi, chama-se

                                                              _

conjugado de Z ao número complexo  Z = a – bi.

Exemplo

                                                                _

Se  Z= 1 + 2i então seu conjugado será Z  = 1 - 2i

                                                           

4) Oposto de um número complexo

O oposto de um número complexo Z é representado por      –Z. Se Z= a + bi então seu oposto é  –Z = -a -bi (trocam-se os sinais).

Exemplo

a) Se Z = 3 +5i então seu oposto será -Z= -3 - 5i.

b) Se Z = -2 + 6i então seu oposto será -Z = 2 – 6i.

c) Se Z = 1 - 4i então seu oposto será -Z = -1 + 4i.

 

 

5) Adição de números complexos

 Z₁ = a + bi  e  Z₂ = c + di,

então Z₁ + Z₂ = (a+c) + (b+d)i.

Exemplo

Z₁ = 3 + 6i  e  Z₂ = -2 + 5i  então

Z₁ + Z₂ = (3+6i) + (-2+5i)

Z₁ + Z₂ = 3 + 6i -2 + 5i

Z₁ + Z₂ = 1 + 11i

6) Subtração de números complexos

Z₁ = a + bi  e  Z₂ = c + di, então Z₁ - Z₂ = (a+bi) - (c+di).

Exemplo

a) Se Z₁= 5 + 2i  e  Z₂ = -3 +7i, então Z₁ - Z₂ será:

    Z₁ – Z₂ = (5+2i) – (-3 + 7i)

    Z₁ – Z₂ = 5 + 3 + 2i -7i

    Z₁ – Z₂ = 8 – 5i

b) Se Z₁= 6 + 2i  e  Z₂= -4 -3i, então Z₁ - Z₂ será:

     Z₁ - Z₂ = (6 + 2i) - (-4 - 3i)

     Z₁ - Z₂ = 6 + 4 +2i +3i

     Z₁ - Z₂ = 10 + 5i

7) Multiplicação de números complexos

 

 

 

 

                                                                        

Se Z₁ = 3 + 2i  e  Z₂ = 5 - 4i então Z₁ . Z₂ = (3+2i) . (5 -4i)

     Z₁ . Z₂ = 15 – 12i + 10i – 8i²

     Z₁ . Z₂ = 15 -12i +10i +8

     Z₁ . Z₂ = 23 - 2i

 

 

8) Divisão de números complexos

 

 

 Se Z₁= 2 + 3i  e  Z₂= -1 + i então  Z₁/Z₂  será:

 

 

      Z₁ = 2 + 3i

      Z₂     -1 + i

      

     Logo

    

     Z₁ = (2 + 3i)  .  (-1 - i)

     Z₂      (-1 + i)     (-1 - i)

     Z₁ = -2 -2i -3i -3i²

     Z₂     1+ i – i – i²

        

     Z₁ = -2 -2i -3i +3

     Z₂     1+ i – i +i

         

     Z₁ = 1 – 5i

     Z₂     1 + i

 

 

Forma Trigonométrica de um Número Complexo

 

 

Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que: cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essas relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: 

 

 

 

cosӨ = a/p → a = p*cosӨ 

 

 

 

senӨ = b/p → b = p*senӨ 

 

 

Considere p = √(a²+b²)

Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. 

 

z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ) 

 

Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radi

Exemplo 1 

Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i. 

Resolução: 

a = –√3 e b = 1 

 

A forma trigonométrica do complexo  z = –√3 + i é:  

z = 2(cos150º + i sen150º ).

 

Rio, 27 de junho de 2013.

Conteúdo para o 3 ano ( Prof.(a) Michele )

Relações Trigonométricas Fundamentais

 

Sen² x + Cos² x =1

Tg x = sen x/ cos x

 

Cotg x = cos x/sen x

 

Sec x = 1/cos x

 

Cossec x = 1/ sen x 

Rio, 10 de junho de 2013.

 

RETAS

Dadas duas ou mais retas do plano, elas podem ser paralelas, coincidentes, concorrentes (perpendiculares ou oblíquas).

 

Retas Paralelas

 

Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum.

Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano. 

 

 

 

As retas r e s são paralelas se, e somente se, possuírem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais.

Uma maneira mais simples de verificar se duas retas são paralelas é comparar seus coeficientes angulares: se forem iguais as retas são paralelas.

 

Retas Coincidentes

 

Duas retas são coincidentes se a distância entre elas for nula ( as retas tem todos os pontos em comum).

 

 

 

 

Retas Concorrentes

 

São retas que se interceptam em apenas um ponto.

Elas podem ser:

- Perpendiculares

- Oblíquas

 

 

 

Ângulos 

1) O ângulo e seus elementos

        Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

       Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

 

 

 

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

     O ângulo convexo, de vértice O e lados OA  e  OB  , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

 

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

     O ângulo convexo, de vértice O e lados OA  e  OB  , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

 

 

OBS: Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.

         O ângulo de uma volta mede 360º.

- Questões envolvendo medidas de ângulos
 

Observe a resolução das questões abaixo:

• Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

 

Solução       

Medida de AÔB = x

Medida de BÔC = 105º

Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

              m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)

                                   x + 105º = 180º

                                             x   = 180º - 105º

                                             x   = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

• Determine a medida do angulo não-convexo na figura:

 

Solução

Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360º

x = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

 

 

3) Ângulos congruentes

 

Observe os ângulos abaixo:

 

 

 

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida.

Assim:

                          Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

                      

4)Ângulos consecutivos

 

Observe a figura:

 

 

 

 

 

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras abaix

Os ângulos AÔC  e CÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:   OC

 

 

 

Os ângulos CÔB  e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum: OB

 Os ângulos AÔC  e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum: OA

  

Os pares de ângulos AÔC  e CÔB, AÔC  e AÔB, CÔB  e AÔB são denominados ângulos consecutivos.

Assim:

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

 

Rio de Janeiro, 13 de maio de 2013.

Fatoração

Definição de Fatoração

A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:

  5x + 5y = 5(x+y)

 ac + ad + bc + bd = (a +b) (c + d)

x² - 7² = (x + 7) (x – 7)      

m² + 2mn + n² = (m + n)²

j² - 2jk + k² = (j – k)²

x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x + y)³

x³ - 3x²y + 3xy² - y³ = (x – y)³

 

Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.

A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.

Fator Comum: ax + bx = x(a + b)

A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.

No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:

5x + 5y

Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:

5x + 5y = 5(x + y)

 Exemplos

7a + 7b = 7(a+b)

15x + 5y = 5(3x + y)

14m + 28n = 7(2m + 4n) 

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.

Vejamos o exemplo abaixo:

4x + 6x + 4y + 6y

Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:4x + 6x + 4y + 6y = x(4 +6) + y(4 + 6)

Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:

X(4+6) + y(4 +6) = (4+6) (x+y)

Assim sendo:

4x + 6x + 4y + 6y = (4 +6) (x + y)

Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:

(4 +6) (x + y) = 10(x +y)

No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:

4x + 6x + 4y + 6y = 4(x +y) + 6(x +y)

E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:

4(x +y) + 6(x +y) = (x +y) (4 +6)

Exemplos

8x + 9x + 8y + 9y = x(8+9) + y(8 +9) = (8 +9) (x +y)

13j +7j + 13k +7k = j(13 +7) + k(13 +7) = (13 +7)(j +k)

5a + 5b + 2a +2b = 5(a +b) + 2(a +b) = (a +b)(5 +2)

Diferença de Dois Quadrados:

a² - b² = (a + b)(a - b)

Vejamos este exemplo na sequência

25y² - 9z²

Visto que a² - b² = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:

25y² - 9z² = (5y)² - (3z)² = (5y + 3z) (5y – 3z)

Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).

 

Logo:

25y² - 9z² = (5y +3z) (5y -3z)

 

Exemplos

169a² - 196b² = (13a + 14b)(13a – 14b)

 49w² - 36y² = (7w + 6y)(7w – 6y)

 

Como identificar um trinômio do quadrado perfeito

 

 

Nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito. Agora, quando é dado um trinômio como iremos identificar que é quadrado perfeito ou não?

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.

            Exemplo: 25 é um quadrado perfeito pois 25= 5²

• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.

 

Veja um exemplo:

Veja se o trinômio 16x² + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:

A raiz de 16x²  é igual a 4x

A raiz de 1 é igual a 1

O termo do meio(8x) é igual a 2.4x.1

Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio  16x² + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio  16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das raízes ao quadrado.

Exemplo :

Dado o trinômio 9a² – 6a + 1.Tiramos a raiz dos termos 9a² e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será   2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)².

 

Trinômio do tipo x² + Sx +P

 Quando é necessário fatorar uma expressão algébrica e essa é um trinômio (três monômios), e verificamos que esse não forma um trinômio do quadrado perfeito, devemos então utilizar a fatoração do tipo x² + Sx + P.

Exemplo:

Dada a expressão algébrica x² + 12x + 20, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito. Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é  x² + Sx + P. Mas, como iremos aplicar essa fatoração na expressão x² + 12x + 20?

Sempre devemos observar os coeficientes dos dois últimos termos, veja: 

x² + 12x + 20. Os números 12 e 20 são os coeficientes dos dois últimos termos, agora devemos achar dois números que quando somamos o valor será igual a + 12(segundo termo) e quando multiplicamos o resultado será igual a + 20(terceiro termo), chegaremos a esses números através de tentativas. 

Os números somados e multiplicados que dão como valor 12 e 20, respectivamente, é 2 e 10. 

2 + 10 = 12 

2 . 10 = 20 

Então, fatoramos utilizando os números encontrados que no exemplo é 2 e 10, portanto a forma fatorada de x² + 12x + 20 será (x+2) (x+10).